ST 表 (Sparse Table，稀疏表)

主要用来解决 \(RMQ\) (区间最大/最小值查询)问题。应用倍增思想，可以实现 \(O(nlogn)\) 预处理、\(O(logn)\) 查询。

预处理 ST 表

倍增法递推：用两个等长的小区间组合成大区间

以区间最大值为例：\(f[i][j]\) 表示以第 \(i\) 个数为起点，长度为 \(2^j\) 的区间最大值

\(f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^j-1][j-1])\)

查询

对查询区间 \([l,r]\) 进行分割

设 \(k=log_2(r-l+1)\)

则区间 \([l,r]\) 可以分割成 \([l,l+2^k-1]\) 和 \([r-2^k+1,r]\)，用预处理的 \(f\) 数组进行查询即可，中间的重叠部分无需理会

例题

Luogu P3865 【模板】ST 表 && RMQ 问题

题目描述

给定一个长度为 \(N\) 的数列，和 \(M\) 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入格式

第一行包含两个整数 \(N,M\)，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 \(N\) 个整数(记为 \(a_i\))，依次表示数列的第 \(i\) 项。

接下来 \(M\) 行，每行包含两个整数 \(l_i,r_i\)，表示查询的区间为 \([l_i,r_i]\)。

输出格式

输出包含 \(M\) 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

数据范围

\(1 \leq N \leq 10^5, \ 1 \leq M \leq 2 \times 10^6, \ 0 \leq a_i \leq 10^9, \ 1 \leq l_i \leq r_i \leq N\)

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#include <bits/stdc++.h>

#define endl '\n'

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int f[N][25];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> f[i][0];

    for (int j = 1; j <= 20; j++)
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
            f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);

    while (m--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        int k = log2(r - l + 1);
        cout << max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]) << endl;
    }
	
    return 0;
}